多次元の整数、変数および式

多次元変数の定義

QUBO++は、関数qbpp::var()およびqbpp::var_int()を使用して、任意の深さの多次元変数（qbpp::Varオブジェクト）および多次元整数変数（qbpp::VarIntオブジェクト）をサポートしています。 基本的な使い方は次のとおりです:

  • qbpp::var("name",s1,s2,...,sd): 指定されたnameと形状$s1\times s2\times \cdots\times sd$を持つqbpp::Varオブジェクトの配列を作成します。
  • l <= qbpp::var_int("name",s1,s2,...,sd) <= u: 指定された範囲と形状$s1\times s2\times \cdots\times sd$を持つqbpp::VarIntオブジェクトの配列を作成します。

以下のQUBO++プログラムは、それぞれ次元$2\times 3\times 4$のバイナリ変数と整数変数を作成します。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 2, 3, 4);
  auto y = 1 <= qbpp::var_int("y", 2, 3, 4) <= 8;
  std::cout << "x : " << x << std::endl;
  std::cout << "y : " << y << std::endl;
}

このプログラムの出力は次のとおりです:

x : {{{x[0][0][0],x[0][0][1],x[0][0][2],x[0][0][3]},{x[0][1][0],x[0][1][1],x[0][1][2],x[0][1][3]},{x[0][2][0],x[0][2][1],x[0][2][2],x[0][2][3]}},{{x[1][0][0],x[1][0][1],x[1][0][2],x[1][0][3]},{x[1][1][0],x[1][1][1],x[1][1][2],x[1][1][3]},{x[1][2][0],x[1][2][1],x[1][2][2],x[1][2][3]}}}
y : {{{1 +y[0][0][0][0] +2*y[0][0][0][1] +4*y[0][0][0][2],1 +y[0][0][1][0] +2*y[0][0][1][1] +4*y[0][0][1][2],1 +y[0][0][2][0] +2*y[0][0][2][1] +4*y[0][0][2][2],1 +y[0][0][3][0] +2*y[0][0][3][1] +4*y[0][0][3][2]},{1 +y[0][1][0][0] +2*y[0][1][0][1] +4*y[0][1][0][2],1 +y[0][1][1][0] +2*y[0][1][1][1] +4*y[0][1][1][2],1 +y[0][1][2][0] +2*y[0][1][2][1] +4*y[0][1][2][2],1 +y[0][1][3][0] +2*y[0][1][3][1] +4*y[0][1][3][2]},{1 +y[0][2][0][0] +2*y[0][2][0][1] +4*y[0][2][0][2],1 +y[0][2][1][0] +2*y[0][2][1][1] +4*y[0][2][1][2],1 +y[0][2][2][0] +2*y[0][2][2][1] +4*y[0][2][2][2],1 +y[0][2][3][0] +2*y[0][2][3][1] +4*y[0][2][3][2]}},{{1 +y[1][0][0][0] +2*y[1][0][0][1] +4*y[1][0][0][2],1 +y[1][0][1][0] +2*y[1][0][1][1] +4*y[1][0][1][2],1 +y[1][0][2][0] +2*y[1][0][2][1] +4*y[1][0][2][2],1 +y[1][0][3][0] +2*y[1][0][3][1] +4*y[1][0][3][2]},{1 +y[1][1][0][0] +2*y[1][1][0][1] +4*y[1][1][0][2],1 +y[1][1][1][0] +2*y[1][1][1][1] +4*y[1][1][1][2],1 +y[1][1][2][0] +2*y[1][1][2][1] +4*y[1][1][2][2],1 +y[1][1][3][0] +2*y[1][1][3][1] +4*y[1][1][3][2]},{1 +y[1][2][0][0] +2*y[1][2][0][1] +4*y[1][2][0][2],1 +y[1][2][1][0] +2*y[1][2][1][1] +4*y[1][2][1][2],1 +y[1][2][2][0] +2*y[1][2][2][1] +4*y[1][2][2][2],1 +y[1][2][3][0] +2*y[1][2][3][1] +4*y[1][2][3][2]}}}

x内の各qbpp::Varオブジェクトはx[i][j][k]としてアクセスできます。 y内の各qbpp::VarIntオブジェクトはy[i][j][k]としてアクセスでき、 内部的には以下の3つのバイナリ変数で表現されます:

  • y[i][j][k][0]
  • y[i][j][k][1]
  • y[i][j][k][2]

これらは指定された範囲の整数のバイナリエンコーディングに対応しています。

個別の範囲を持つ整数変数配列の作成

多次元整数変数配列を定義する場合、l <= qbpp::var_int("name", s1, s2, ...) <= u で作成された全要素は同じ範囲 $[l, u]$ を共有します。 しかし実際の問題では、各要素に異なる範囲が必要な場合が多くあります。

このような場合、まず qbpp::var_int("name", s1, s2, ...) == 0 でプレースホルダ配列を作成し、ループ内で各要素に個別の範囲を割り当てます:

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto max_vals = qbpp::int_array({3, 7, 15, 5});
  auto x = qbpp::var_int("x", max_vals.size()) == 0;
  for (size_t i = 0; i < max_vals.size(); ++i) {
    x[i] = 0 <= qbpp::var_int() <= max_vals[i];
  }
  for (size_t i = 0; i < max_vals.size(); ++i) {
    std::cout << "x[" << i << "] = " << x[i] << std::endl;
  }
}

このプログラムでは、qbpp::var_int("x", 4) == 0 がプレースホルダとして定数ゼロの VarInt オブジェクト4個の配列を作成します。 各要素は 0 <= qbpp::var_int() <= max_vals[i] で個別の範囲に再代入されます。

このテクニックは、各変数の上限が異なる切り出し問題などでよく使われます。

NOTE == 0 の構文は min_val = max_val = 0（定数ゼロ）の VarInt を作成するものであり、等号制約を作成するものではありません。 任意の整数定数を使用でき、例えば qbpp::var_int("x", 4) == 5 は定数5のプレースホルダを作成します。

多次元式の定義

QUBO++では、関数qbpp::expr()を使用して任意の深さの多次元式（qbpp::Exprオブジェクト）を定義できます:

  • qbpp::expr(s1,s2,...,sd): 形状$s1\times s2\times \cdots\times sd$のqbpp::Exprオブジェクトの多次元配列を作成します。

以下のプログラムは、形状$2\times 3\times 4$のqbpp::Varオブジェクトの3次元配列xと、サイズ$2\times 3$の2次元配列fを定義します。 次に、3重forループを使用して、各f[i][j]にx[i][j][0]、x[i][j][1]、x[i][j][2]、x[i][j][3]の和を蓄積します:

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 2, 3, 4);
  auto f = qbpp::expr(2, 3);
  for (size_t i = 0; i < 2; ++i) {
    for (size_t j = 0; j < 3; ++j) {
      for (size_t k = 0; k < 4; ++k) {
        f[i][j] += x[i][j][k];
      }
    }
  }
  f.simplify_as_binary();
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < 2; ++i) {
    for (size_t j = 0; j < 3; ++j) {
      std::cout << "f[" << i << "][" << j << "] = " << f[i][j] << std::endl;
    }
  }
}

simplify_as_binary()メンバ関数はqbpp::Exprオブジェクトの多次元配列に対しても適用できます。 このような配列に対して呼び出された場合、各要素に対して個別に（要素ごとに）simplify_as_binary()が適用されます。

このプログラムの出力は次のとおりです:

f = {{x[0][0][0] +x[0][0][1] +x[0][0][2] +x[0][0][3],x[0][1][0] +x[0][1][1] +x[0][1][2] +x[0][1][3],x[0][2][0] +x[0][2][1] +x[0][2][2] +x[0][2][3]},{x[1][0][0] +x[1][0][1] +x[1][0][2] +x[1][0][3],x[1][1][0] +x[1][1][1] +x[1][1][2] +x[1][1][3],x[1][2][0] +x[1][2][1] +x[1][2][2] +x[1][2][3]}}
f[0][0] = x[0][0][0] +x[0][0][1] +x[0][0][2] +x[0][0][3]
f[0][1] = x[0][1][0] +x[0][1][1] +x[0][1][2] +x[0][1][3]
f[0][2] = x[0][2][0] +x[0][2][1] +x[0][2][2] +x[0][2][3]
f[1][0] = x[1][0][0] +x[1][0][1] +x[1][0][2] +x[1][0][3]
f[1][1] = x[1][1][0] +x[1][1][1] +x[1][1][2] +x[1][1][3]
f[1][2] = x[1][2][0] +x[1][2][1] +x[1][2][2] +x[1][2][3]

auto型推論による式配列の作成

qbpp::Exprオブジェクトの配列は、qbpp::expr()を明示的に呼び出さずに作成できます。 関数呼び出しや算術演算が配列形状の結果を返す場合、auto型推論を使用して同じ形状のqbpp::Exprオブジェクトの配列を定義できます。

以下のQUBO++プログラムは、qbpp::Varオブジェクトの配列xと同じ次元のqbpp::Exprオブジェクトの配列fを作成します:

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 2, 3);
  auto f = x + 1;
  f += x - 2;
  f.simplify_as_binary();
  for (size_t i = 0; i < 2; ++i) {
    for (size_t j = 0; j < 3; ++j) {
      std::cout << "f[" << i << "][" << j << "] = " << f[i][j] << std::endl;
    }
  }
}

このプログラムでは、xは$2 \times 3$のqbpp::Varオブジェクトの配列として定義されています。 式x + 1は$2 \times 3$のqbpp::Exprオブジェクトの配列を生成し、auto型推論を通じてfの初期化に使用されます。 その後、式x - 2がfに要素ごとに加算されます。

このプログラムの出力は次のとおりです:

f[0][0] = -1 +2*x[0][0]
f[0][1] = -1 +2*x[0][1]
f[0][2] = -1 +2*x[0][2]
f[1][0] = -1 +2*x[1][0]
f[1][1] = -1 +2*x[1][1]
f[1][2] = -1 +2*x[1][2]

qbpp::Array クラス

qbpp::Array は、1次元を含む任意の次元の多次元配列をサポートするクラスです。 operator[] のチェーン（例: x[i][j][k]）による多次元インデックスアクセスと、要素ごとの算術演算を提供します。 要素型（Var, Expr, 整数など）は内部で管理されるため、テンプレートパラメータとして指定する必要はありません。

配列は以下のファクトリ関数で作成します:

  • qbpp::var("name", s1, s2, ...): バイナリ変数の配列。
  • qbpp::expr(s1, s2, ...): ゼロ初期化された式の配列。
  • qbpp::int_array({v1, v2, ...}): 整数定数の配列。
  • qbpp::int_array(s1, s2, ...): ゼロ初期化された整数配列。

qbpp::Array クラスは以下のメンバ関数を提供しています:

  • size(): 最外次元のサイズを返します。
  • total(): 全要素数を返します。
  • ndim(): 次元数を返します。
  • empty(): 配列が空の場合 true を返します。
  • operator[]: 要素（1次元）またはサブ配列プロキシ（多次元）を返します。
  • begin() / end(): range-based for ループ用イテレータ。

さらに、qbpp::Array は要素ごとの演算のために以下の演算子をサポートしています:

  • +: 2つの配列、または配列とスカラーの要素ごとの加算。
  • -: 2つの配列、または配列とスカラーの要素ごとの減算。
  • *: 2つの配列、または配列とスカラーの要素ごとの乗算。
  • 単項 -: 配列内のすべての要素を否定します。
  • 単項 ~: 配列内のすべての変数リテラルを否定します。

多次元配列は、形状情報を持つ単一のフラット配列として実装されています。 例えば、以下のコードにおける x は shape (2, 3) の変数の2次元配列です:

  auto x = qbpp::var("x", 2, 3);

上記の要素ごとの演算は、オペランドが同じ形状を持つ場合にのみ多次元配列でサポートされます。

多次元配列は operator[] を使ったインデックスベースの for ループでアクセスできます:

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 2, 3);
  auto f = x + 1;
  f += x - 2;
  f.simplify_as_binary();
  std::cout << "total = " << f.total() << std::endl;
  std::cout << "ndim = " << f.ndim() << std::endl;
  std::cout << "shape = (" << f.shape(0) << ", " << f.shape(1) << ")" << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < f.size(); ++i) {
    for (size_t j = 0; j < f[i].size(); ++j) {
      std::cout << "(" << f[i][j] << ")";
    }
    std::cout << std::endl;
  }
}

ここで、f.total()は全要素数、f.ndim()は次元数、f.shape(d)は次元dのサイズを返します。 f[i][j]は行i、列jの要素にアクセスします。

このプログラムの出力は次のとおりです:

(-1 +2*x[0][0])(-1 +2*x[0][1])(-1 +2*x[0][2])
(-1 +2*x[1][0])(-1 +2*x[1][1])(-1 +2*x[1][2])

サブ配列アクセスと操作

多次元配列から行や列などのサブ配列を取得するには、row()、col()、slice() メソッドを使います。 任意の軸に沿ったスライスや連結については スライス関数と連結関数 を参照してください。

Back to top

Page last modified: 2026.04.04.