配列の基本演算子と関数

基本的に、配列に対する演算子と関数は要素ごとに適用されます。

配列の基本演算子

基本演算子 +、-、*、/ は変数や式の配列に対して使用できます。

QUBO++では、これらの演算子は要素ごとに適用されます。

配列とスカラーの演算

配列とスカラーを組み合わせると、スカラーが配列の各要素に適用されます。例えば、x がサイズ3の配列の場合:

2 * x は {2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]} を生成
x + 1 は {x[0] + 1, x[1] + 1, x[2] + 1} を生成

以下のプログラムはこの動作を示しています。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto f = 2 * x + 1;

  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < f.size(); ++i) {
    std::cout << "f[" << i << "] = " << f[i] << std::endl;
  }
}

このプログラムは2値変数の配列 x = {x[0], x[1], x[2]} を作成します。 2 * x で各要素に 2 を掛け、+ 1 で各要素に 1 を加えるため、f は {1 + 2*x[0], 1 + 2*x[1], 1 + 2*x[2]} になります。このプログラムは以下の出力を生成します。

f = {1 +2*x[0],1 +2*x[1],1 +2*x[2]}
f[0] = 1 +2*x[0]
f[1] = 1 +2*x[1]
f[2] = 1 +2*x[2]

配列同士の演算

同じサイズの2つの配列を組み合わせると、各インデックスで要素ごとに演算が行われます。

以下の例では、どちらもサイズ3の2つの配列 x と y を使用しています。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto y = qbpp::var("y", 3);
  auto f = 2 * x + 3 * y + 1;

  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < f.size(); ++i) {
    std::cout << "f[" << i << "] = " << f[i] << std::endl;
  }
}

ここでは:

2 * x は {2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]} になる
3 * y は {3*y[0], 3*y[1], 3*y[2]} になる
加算は要素ごとに行われるため、i 番目の要素は 2*x[i] + 3*y[i]
+ 1 も要素ごとに適用される

したがって、f は {1 + 2*x[0] + 3*y[0], 1 + 2*x[1] + 3*y[1], 1 + 2*x[2] + 3*y[2]} となり、出力と一致します。

f = {1 +2*x[0] +3*y[0],1 +2*x[1] +3*y[1],1 +2*x[2] +3*y[2]}
f[0] = 1 +2*x[0] +3*y[0]
f[1] = 1 +2*x[1] +3*y[1]
f[2] = 1 +2*x[2] +3*y[2]

配列同士の演算は同じ配列サイズが必要です。

次の例は、配列とスカラーの演算、配列同士の演算、単項マイナス、括弧を含む、より複雑な要素ごとの式を示しています。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto y = qbpp::var("y", 3);
  auto f = 6 * -(x + 1) * (y - 1);
  auto g = f / 3;

  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
    std::cout << "f[" << i << "] = " << f[i] << std::endl;
  }

  std::cout << "g = " << g << std::endl;
  for (size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
    std::cout << "g[" << i << "] = " << g[i] << std::endl;
  }
}

この例でも、すべての演算は要素ごとに適用されます。

まず、x + 1 と y - 1 は各要素にスカラーを加減算し、2つの配列 {x[i]+1} と {y[i]-1} を生成します。
単項マイナス -(x + 1) も要素ごとに適用され、{-(x[i]+1)} になります。
乗算 6 * -(x + 1) * (y - 1) も要素ごとに行われ、各インデックス i で f[i]=6*(-(x[i]+1))*(y[i]-1) となります。この式を展開すると f[i]=6-6x[i]y[i]+6x[i]-6y[i] となり、出力と一致します。

最後に、g = f / 3 は各要素を3で割るため、g[i]=f[i]/3=2-2x[i]y[i]+2x[i]-2y[i] となり、やはり出力と一致します。

f = {6 -6*x[0]*y[0] +6*x[0] -6*y[0],6 -6*x[1]*y[1] +6*x[1] -6*y[1],6 -6*x[2]*y[2] +6*x[2] -6*y[2]}
f[0] = 6 -6*x[0]*y[0] +6*x[0] -6*y[0]
f[1] = 6 -6*x[1]*y[1] +6*x[1] -6*y[1]
f[2] = 6 -6*x[2]*y[2] +6*x[2] -6*y[2]
g = {2 -2*x[0]*y[0] +2*x[0] -2*y[0],2 -2*x[1]*y[1] +2*x[1] -2*y[1],2 -2*x[2]*y[2] +2*x[2] -2*y[2]}
g[0] = 2 -2*x[0]*y[0] +2*x[0] -2*y[0]
g[1] = 2 -2*x[1]*y[1] +2*x[1] -2*y[1]
g[2] = 2 -2*x[2]*y[2] +2*x[2] -2*y[2]

配列の複合演算子

同様に、複合演算子 +=、-=、*=、/= も変数や式の配列に対して使用できます。以下の例は、サイズ3の配列に対するこれらの演算子の動作を示しています。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto y = qbpp::var("y", 3);
  auto f = 6 * x + 4;

  f += 3 * y;
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  f -= 12;
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  f *= 2 * y;
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  f /= 2;
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
}

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = {4 +6*x[0] +3*y[0],4 +6*x[1] +3*y[1],4 +6*x[2] +3*y[2]}
f = {-8 +6*x[0] +3*y[0],-8 +6*x[1] +3*y[1],-8 +6*x[2] +3*y[2]}
f = {12*x[0]*y[0] +6*y[0]*y[0] -16*y[0],12*x[1]*y[1] +6*y[1]*y[1] -16*y[1],12*x[2]*y[2] +6*y[2]*y[2] -16*y[2]}
f = {6*x[0]*y[0] +3*y[0]*y[0] -8*y[0],6*x[1]*y[1] +3*y[1]*y[1] -8*y[1],6*x[2]*y[2] +3*y[2]*y[2] -8*y[2]}

配列の2乗関数

2乗関数も配列に対して使用できます。以下に例を示します。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto f = x + 1;

  std::cout << "f = " << qbpp::sqr(f) << std::endl;
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  f.sqr();
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
}

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = {1 +x[0]*x[0] +x[0] +x[0],1 +x[1]*x[1] +x[1] +x[1],1 +x[2]*x[2] +x[2] +x[2]}
f = {1 +x[0],1 +x[1],1 +x[2]}
f = {1 +x[0]*x[0] +x[0] +x[0],1 +x[1]*x[1] +x[1] +x[1],1 +x[2]*x[2] +x[2] +x[2]}

配列の簡約化関数

簡約化関数も配列に対して使用できます。以下に例を示します。

#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 3);
  auto f = qbpp::sqr(x - 1);
  std::cout << "f = " << f << std::endl;
  std::cout << "simplified(f) = " << qbpp::simplify(f) << std::endl;
  std::cout << "simplified_as_binary(f) = " << qbpp::simplify_as_binary(f) << std::endl;
  std::cout << "simplified_as_spin(f) = " << qbpp::simplify_as_spin(f) << std::endl;
}

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = {1 +x[0]*x[0] -x[0] -x[0],1 +x[1]*x[1] -x[1] -x[1],1 +x[2]*x[2] -x[2] -x[2]}
simplified(f) = {1 -2*x[0] +x[0]*x[0],1 -2*x[1] +x[1]*x[1],1 -2*x[2] +x[2]*x[2]}
simplified_as_binary(f) = {1 -x[0],1 -x[1],1 -x[2]}
simplified_as_spin(f) = {2 -2*x[0],2 -2*x[1],2 -2*x[2]}

NOTE これらの演算子と関数は 多次元配列 に対しても使用できます。