低自己相関バイナリ列 (LABS) 問題

低自己相関バイナリ列 (Low Autocorrelation Binary Sequence, LABS) 問題は、自己相関を最小化するスピン列 $S=(s_i)$ ($s_i=\pm 1, 0\leq i\leq n-1$) を見つけることを目的とします。アラインメント $d$ における $S$ の自己相関は次のように定義されます：

\[\left(\sum_{i=0}^{n-d-1}s_is_{i+d}\right)^2\]

LABSの目的関数は、すべてのアラインメントにわたるこれらの自己相関の和です：

\[\begin{aligned} \text{LABS}(S) &= \sum_{d=1}^{n-1}\left(\sum_{i=0}^{n-d-1}s_is_{i+d}\right)^2 \end{aligned}\]

LABS問題は $\text{LABS}(S)$ を最小化する列 $S$ を見つける問題です。

スピンからバイナリへの変換

PyQBPPに同梱されているソルバーはスピン変数を直接サポートしていないため、以下の変換を用いてスピン変数をバイナリ変数に変換します：

\[\begin{aligned} s_i &\leftarrow 2s_i - 1 \end{aligned}\]

この変換の後、各 $s_i$ はバイナリ変数として扱うことができ、バイナリ変数用のHUBOソルバーを使用して $\text{LABS}(S)$ の解を求めることができます。

PyQBPPではこの変換を spin_to_binary() 関数を通じて提供しています。

LABSのPyQBPPプログラム

以下のPyQBPPプログラムはLABS問題を定式化し、求解します：

import pyqbpp as qbpp

n = 30

s = qbpp.var("s", shape=n)
labs = qbpp.expr()
for d in range(1, n):
    temp = qbpp.expr()
    for i in range(n - d):
        temp += s[i] * s[i + d]
    labs += qbpp.sqr(temp)

labs.spin_to_binary()
labs.simplify_as_binary()

solver = qbpp.ABS3Solver(labs)
result = solver.search(time_limit=10.0, best_energy_sols=0)
for i, sol in enumerate(result.sols):
    bits = "".join("+" if sol(s[j]) == 1 else "-" for j in range(n))
    print(f"{i}: LABS = {sol.energy} : {bits}")

このプログラムでは、s に n 個の変数のベクトルが格納されます。式 labs はネストされたループを使用して構築され、LABSの目的関数の数学的定義に直接従っています。

その後、labs は spin_to_binary() 関数によりバイナリ変数上の式に変換され、simplify_as_binary() により簡略化されます。

次に、ABS3 Solver が時間制限10秒で実行されます。 best_energy_sols が 0（最良エネルギーの解をすべて保持）に設定されているため、最小エネルギーを達成するすべての解が result.sols に格納されます。

result.sols に対する for ループを使用して、最良エネルギーのすべての解が表示されます。このプログラムの典型的な出力は以下のとおりです：

LABS = 59 : -----+++++-++-++-+-+-+++--+++-
LABS = 59 : -+-++-+-+---+++-------+--++-++
LABS = 59 : -+-+--+-+---+++-------+--++-++
LABS = 59 : +-+-++-+-+++---+++++++-++--+--
LABS = 59 : --+--++-+++++++---+++-+-++-+-+
LABS = 59 : ----++++++-++-++-+-+-+++--+++-
LABS = 59 : +-+--+-+-+++---+++++++-++--+--
LABS = 59 : ++-++--+-------+++---+-+-++-+-
LABS = 59 : -+++--+++-+-+-++-++-++++++----
LABS = 59 : +---++---+-+-+--+--+-----+++++

この実行では、同じ最小LABS値を達成する複数の解が得られています。