配列の基本演算子と関数

基本的に、配列に対する演算子と関数は要素ごとに適用されます。

配列の基本演算子

基本演算子 +、-、*、/ は変数や式の配列に対して使用できます。

QUBO++では、これらの演算子は要素ごとに適用されます。

配列とスカラーの演算

配列とスカラーを組み合わせると、スカラーが配列の各要素に適用されます。例えば、x がサイズ3の配列の場合:

2 * x は [2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]] を生成
x + 1 は [x[0] + 1, x[1] + 1, x[2] + 1] を生成

以下のプログラムはこの動作を示しています。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
f = 2 * x + 1

print("f =", f)
for i in range(len(f)):
    print(f"f[{i}] =", f[i])

このプログラムは2値変数の配列 x = [x[0], x[1], x[2]] を作成します。 2 * x で各要素に 2 を掛け、+ 1 で各要素に 1 を加えるため、f は [1 + 2*x[0], 1 + 2*x[1], 1 + 2*x[2]] になります。このプログラムは以下の出力を生成します。

f = [1 +2*x[0], 1 +2*x[1], 1 +2*x[2]]
f[0] = 1 +2*x[0]
f[1] = 1 +2*x[1]
f[2] = 1 +2*x[2]

配列同士の演算

同じサイズの2つの配列を組み合わせると、各インデックスで要素ごとに演算が行われます。

以下の例では、どちらもサイズ3の2つの配列 x と y を使用しています。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
y = qbpp.var("y", shape=3)
f = 2 * x + 3 * y + 1

print("f =", f)
for i in range(len(f)):
    print(f"f[{i}] =", f[i])

ここでは:

2 * x は [2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]] になる
3 * y は [3*y[0], 3*y[1], 3*y[2]] になる
加算は要素ごとに行われるため、i 番目の要素は 2*x[i] + 3*y[i]
+ 1 も要素ごとに適用される

したがって、f は [1 + 2*x[0] + 3*y[0], 1 + 2*x[1] + 3*y[1], 1 + 2*x[2] + 3*y[2]] となり、出力と一致します。

f = [1 +2*x[0] +3*y[0], 1 +2*x[1] +3*y[1], 1 +2*x[2] +3*y[2]]
f[0] = 1 +2*x[0] +3*y[0]
f[1] = 1 +2*x[1] +3*y[1]
f[2] = 1 +2*x[2] +3*y[2]

配列同士の演算は同じ配列サイズが必要です。

次の例は、配列とスカラーの演算、配列同士の演算、単項マイナス、括弧を含む、より複雑な要素ごとの式を示しています。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
y = qbpp.var("y", shape=3)
f = 6 * -(x + 1) * (y - 1)
g = f / 3

print("f =", f)
for i in range(len(x)):
    print(f"f[{i}] =", f[i])

print("g =", g)
for i in range(len(x)):
    print(f"g[{i}] =", g[i])

この例でも、すべての演算は要素ごとに適用されます。

まず、x + 1 と y - 1 は各要素にスカラーを加減算し、2つの配列 [x[i]+1] と [y[i]-1] を生成します。
単項マイナス -(x + 1) も要素ごとに適用され、[-(x[i]+1)] になります。
乗算 6 * -(x + 1) * (y - 1) も要素ごとに行われ、各インデックス i で f[i]=6*(-(x[i]+1))*(y[i]-1) となります。この式を展開すると f[i]=6-6x[i]y[i]+6x[i]-6y[i] となり、出力と一致します。

最後に、g = f / 3 は各要素を3で割るため、g[i]=f[i]/3=2-2x[i]y[i]+2x[i]-2y[i] となり、やはり出力と一致します。

f = [6 -6*x[0]*y[0] +6*x[0] -6*y[0], 6 -6*x[1]*y[1] +6*x[1] -6*y[1], 6 -6*x[2]*y[2] +6*x[2] -6*y[2]]
f[0] = 6 -6*x[0]*y[0] +6*x[0] -6*y[0]
f[1] = 6 -6*x[1]*y[1] +6*x[1] -6*y[1]
f[2] = 6 -6*x[2]*y[2] +6*x[2] -6*y[2]
g = [2 -2*x[0]*y[0] +2*x[0] -2*y[0], 2 -2*x[1]*y[1] +2*x[1] -2*y[1], 2 -2*x[2]*y[2] +2*x[2] -2*y[2]]
g[0] = 2 -2*x[0]*y[0] +2*x[0] -2*y[0]
g[1] = 2 -2*x[1]*y[1] +2*x[1] -2*y[1]
g[2] = 2 -2*x[2]*y[2] +2*x[2] -2*y[2]

配列の複合演算子

同様に、複合演算子 +=、-=、*=、/= も変数や式の配列に対して使用できます。以下の例は、サイズ3の配列に対するこれらの演算子の動作を示しています。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
y = qbpp.var("y", shape=3)
f = 6 * x + 4

f += 3 * y
print("f =", f)
f -= 12
print("f =", f)
f *= 2 * y
print("f =", f)
f /= 2
print("f =", f)

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = [4 +6*x[0] +3*y[0], 4 +6*x[1] +3*y[1], 4 +6*x[2] +3*y[2]]
f = [-8 +6*x[0] +3*y[0], -8 +6*x[1] +3*y[1], -8 +6*x[2] +3*y[2]]
f = [12*x[0]*y[0] +6*y[0]*y[0] -16*y[0], 12*x[1]*y[1] +6*y[1]*y[1] -16*y[1], 12*x[2]*y[2] +6*y[2]*y[2] -16*y[2]]
f = [6*x[0]*y[0] +3*y[0]*y[0] -8*y[0], 6*x[1]*y[1] +3*y[1]*y[1] -8*y[1], 6*x[2]*y[2] +3*y[2]*y[2] -8*y[2]]

配列の2乗関数

2乗関数も配列に対して使用できます。以下に例を示します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
f = x + 1

print("f =", qbpp.sqr(f))
print("f =", f)
f.sqr()
print("f =", f)

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = [1 +x[0]*x[0] +x[0] +x[0], 1 +x[1]*x[1] +x[1] +x[1], 1 +x[2]*x[2] +x[2] +x[2]]
f = [1 +x[0], 1 +x[1], 1 +x[2]]
f = [1 +x[0]*x[0] +x[0] +x[0], 1 +x[1]*x[1] +x[1] +x[1], 1 +x[2]*x[2] +x[2] +x[2]]

配列の簡約化関数

簡約化関数も配列に対して使用できます。以下に例を示します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3)
f = qbpp.sqr(x - 1)
print("f =", f)
print("simplified(f) =", qbpp.simplify(f))
print("simplified_as_binary(f) =", qbpp.simplify_as_binary(f))
print("simplified_as_spin(f) =", qbpp.simplify_as_spin(f))

このプログラムは以下の出力を生成します。

f = [1 +x[0]*x[0] -x[0] -x[0], 1 +x[1]*x[1] -x[1] -x[1], 1 +x[2]*x[2] -x[2] -x[2]]
simplified(f) = [1 -2*x[0] +x[0]*x[0], 1 -2*x[1] +x[1]*x[1], 1 -2*x[2] +x[2]*x[2]]
simplified_as_binary(f) = [1 -x[0], 1 -x[1], 1 -x[2]]
simplified_as_spin(f) = [2 -2*x[0], 2 -2*x[1], 2 -2*x[2]]

注釈これらの演算子と関数は 多次元配列 に対しても使用できます。