QUBO 問題

QUBO問題は，次の式 $f$ で定義されることが多いです．

\[f(X) = \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}w_{i,j}\, x_i x_j\]

ここで $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ は $n$ 個の二値変数，$W = (w_{i,j})$（$0 \leq i, j \leq n-1$）は係数を表す $n \times n$ の行列です． つまり，行列 $W$ によって QUBO 式が定義されます． このような形で QUBO 式が与えられた場合，PyQBPP では次のように簡単に式を構築し，解を探索できます．

import pyqbpp as qbpp

w = qbpp.array([[1, -2, 1], [-4, 3, 2], [4, 2, -1]])
x = qbpp.var("x", shape=3)
f = qbpp.expr()
for i in range(3):
    for j in range(3):
        f += w[i][j] * x[i] * x[j]
f.simplify_as_binary()
print("f =", f)

solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1)
print("sol =", sol)

このプログラムは $n = 3$ の例です． $3 \times 3$ の整数配列 w を qbpp.array(...) で定義し，それをもとに式 f を構築しています． simplify_as_binary() で二値変数のルール（$x_i^2 = x_i$）を適用して式を整理した後，EasySolver で解探索を行います． このプログラムを実行すると，次の出力が得られます．

f = x[0] +3*x[1] -x[2] -6*x[0]*x[1] +5*x[0]*x[2] +4*x[1]*x[2]
sol = Sol(energy=-2, {x[0]: 1, x[1]: 1, x[2]: 0})

einsum を用いたより簡潔な書き方

上の二重 for ループは数式定義をそのまま書き下したものですが，同じ式は qbpp.einsum の 1 行で書くこともできます．

import pyqbpp as qbpp

W = qbpp.array([[1, -2, 1], [-4, 3, 2], [4, 2, -1]])
x = qbpp.var("x", shape=3)
f = qbpp.einsum("ij,i,j->", W, x, x)
f.simplify_as_binary()
print("f =", f)

solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1)
print("sol =", sol)

ここでは qbpp.array(...) で $3 \times 3$ の整数配列 W（行列 $W = (w_{i,j})$ に対応）を作り，qbpp.var("x", shape=3) で二値変数ベクトル $X = (x_0, x_1, x_2)$ を作成しています．

subscript "ij,i,j->" は数式 $\sum_{i,j} W_{ij}\, x_i\, x_j$ をそのまま 表しています．

• 第 1 入力 W はラベル ij（行列の行と列）．
• 第 2 入力 x はラベル i（W の行と対応）．
• 第 3 入力 x はラベル j（W の列と対応）．
• 右辺が空なので i と j は両方とも縮約（総和）され，結果は スカラー Expr になります．

得られる式 f，整理後の形，解はいずれも for ループ版とまったく同じです． $n$ が大きい場合，einsum 版は処理が C++ バックエンド内で完結し マルチスレッド化されるため，for ループ版で 1 反復ごとに発生する Python の ctypes オーバーヘッドを回避でき，大幅に高速になります．