QUBO 問題

QUBO問題は，次の式 $f$ で定義されることが多いです．

\[f(X) = \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}w_{i,j}\, x_i x_j\]

ここで $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ は $n$ 個の二値変数，$W = (w_{i,j})$（$0 \leq i, j \leq n-1$）は係数を表す $n \times n$ の行列です． つまり，行列 $W$ によって QUBO 式が定義されます． このような形で QUBO 式が与えられた場合，PyQBPP では次のように簡単に式を構築し，解を探索できます．

import pyqbpp as qbpp

w = [[1, -2, 1], [-4, 3, 2], [4, 2, -1]]
x = qbpp.var("x", shape=3)
f = qbpp.expr()
for i in range(3):
    for j in range(3):
        f += w[i][j] * x[i] * x[j]
f = qbpp.simplify_as_binary(f)
print("f =", f)

solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1)
print("sol =", sol)

このプログラムは $n = 3$ の例です． $3 \times 3$ のリスト w を定義し，それをもとに式 f を構築しています． simplify_as_binary() で二値変数のルール（$x_i^2 = x_i$）を適用して式を整理した後，EasySolver で解探索を行います． このプログラムを実行すると，次の出力が得られます．

f = x[0] +3*x[1] -x[2] -6*x[0]*x[1] +5*x[0]*x[2] +4*x[1]*x[2]
sol = Sol(energy=-2, {x[0]: 1, x[1]: 1, x[2]: 0})