変数の配列と配列関数

PyQBPPは変数の配列と配列演算をサポートしています。

変数配列の定義

バイナリ変数の配列は var() 関数を使って作成できます。

var("name", size) は、指定された name を持つ size 個の変数からなる Array を返します。

以下のプログラムは、x という名前の5個の変数からなる配列を定義します。 x を表示すると、5つの変数 x[0]、x[1]、x[2]、x[3]、x[4] が含まれていることが確認できます。次に、expr() 関数を使って、初期値が 0 の Expr オブジェクト f を作成します。 i = 0 から 4 までの for ループで、各変数 x[i] を複合演算子 += を使って f に加えます。最後に、f を簡約化して表示します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.expr()
for i in range(5):
    f += x[i]
print("f =", f.simplify_as_binary())

このプログラムの出力は以下の通りです。

[x[0], x[1], x[2], x[3], x[4]]
f = x[0] +x[1] +x[2] +x[3] +x[4]

NOTE var(name, size) は size 個の Var 型要素を含む Array オブジェクトを返します。 Array クラスは、要素ごとの演算をサポートするオーバーロードされた演算子を提供します。

Sum 関数

ユーティリティ関数 sum() を使って、バイナリ変数配列の合計を取得できます。以下のプログラムは sum() を使って配列 x のすべての変数の合計を計算します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.sum(x)
print("f =", f.simplify_as_binary())

このプログラムの出力は、前のプログラムとまったく同じです。

One-hot 制約の QUBO

バイナリ変数の配列が one-hot であるとは、ちょうど1つの要素が1に等しいこと、すなわち要素の合計が1に等しいことを意味します。 $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ を $n$ 個のバイナリ変数の配列とします。以下の式 $f(X)$ は、$X$ が one-hot であるとき、かつそのときに限り最小値 0 をとります。

\[\begin{align} f(X) &= \left(1 - \sum_{i=0}^{n-1}x_i\right)^2 \end{align}\]

以下のプログラムは式 $f$ を作成し、すべての最適解を求めます。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
f = qbpp.sqr(qbpp.sum(x) - 1)
print("f =", f.simplify_as_binary())

solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
result = solver.search({"best_energy_sols": 0})
for i, sol in enumerate(result.sols()):
    print(f"({i}) {sol}")

関数 sum() は配列内のすべての変数の合計を計算します。関数 sqr() は引数の二乗を計算します。 Exhaustive Solver は、エネルギー値 0 のすべての最適解を以下のように求めます。

f = 1 -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] +2*x[0]*x[1] +2*x[0]*x[2] +2*x[0]*x[3] +2*x[0]*x[4] +2*x[1]*x[2] +2*x[1]*x[3] +2*x[1]*x[4] +2*x[2]*x[3] +2*x[2]*x[4] +2*x[3]*x[4]
(0) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=1)
(1) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=1, x[4]=0)
(2) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=1, x[3]=0, x[4]=0)
(3) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=1, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)
(4) Sol(energy=0, x[0]=1, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)

5つの最適解がすべて表示されます。