FMQA による量子化学計算

FMQA によるブラックボックス最適化の手順を使って、分子のエネルギーを最小にする分子軌道を探します。分子軌道の形を角度で表し、その角度をネイティブ整数変数で探索します。エネルギーを予測するモデル（サロゲートモデル）には、FM の代わりに整数変数の多項式を使います。 QUBO++ は、整数変数の 4 次の多項式を、バイナリ変数に展開せずにそのまま最小化します。

このページでは、変数が 1 つの例（HeH⁺）と、2 つの例（結合を引き伸ばした H₂）を順に扱います。

前提: 評価が高価なエネルギー計算

量子化学計算では、電子が入る軌道（分子軌道）を決めると、そのときの分子のエネルギーが計算できます。エネルギーが最も低くなる分子軌道を求めることが、計算の中心です。実際の分子では、1 回のエネルギーの計算に時間がかかります。量子コンピュータで分子のエネルギーを測る方法（変分量子固有値ソルバー、VQE）でも、回路の角度を決めてエネルギーを測ることを繰り返します。そこで、エネルギーをブラックボックス関数とみなし、少ない評価回数で最小点を探します。

このページの例は電子が 2 個の小さな分子なので、エネルギーは短い式で計算できます。この式は評価の代わりと答え合わせにだけ使い、FMQA の部分は式の中身を使いません。

整数変数を使った FMQA

手順は FMQA と同じです。

ランダムに選んだ点をいくつか評価する。
それまでに評価したすべての点に、サロゲートモデルを当てはめる（学習）。
サロゲートモデルを QUBO++ の式にして、予測値を最小にする点を EasySolver で求める。
その点のエネルギーを評価してデータに加え、2. に戻る。

違うのは、変数とサロゲートモデルです。

変数: 分子軌道の角度を、65 段階の整数で表します。ネイティブ整数変数は 2 進数のビットに展開されず、ソルバーは整数の値のまま探索します。隣の角度へ動くことは、整数を 1 増やす・減らすという自然な移動になります。
サロゲートモデル: FM はバイナリ変数の 2 次式なので、そのまま QUBO になります。このページの変数は 1〜2 個の整数なので、より自由な形を表せる 4 次の多項式を使います。係数は、変数が 1 個なら 5 個、2 個なら 15 個です。ネイティブ整数変数の n * n は整数の 2 乗として扱われるので、4 次の多項式もそのまま QUBO++ の式になります。
学習: 予測値は係数の 1 次式なので、正則化付き最小二乗法（正則化係数 $10^{-6}$）で、連立 1 次方程式を 1 回解けば係数が求まります。

例 1: HeH⁺ の分子軌道

ブラックボックス関数

ヘリウム水素イオン HeH⁺ は、電子を 2 個持ちます。ここでは最小限の基底（STO-3G 基底）を使い、He の 1s 軌道と H の 1s 軌道を直交化した 2 つの関数 $\chi_1, \chi_2$ の組み合わせで分子軌道を表します。 2 個の電子が同じ分子軌道に入るとき（制限 Hartree-Fock 法）、分子軌道は角度 $\theta$ 1 つで表せます:

\[\phi(\theta) = \cos\theta\, \chi_1 + \sin\theta\, \chi_2\]

どの $\theta$ でも $\phi$ の大きさは 1 です。 $\theta$ と $\theta + \pi$ は符号が違うだけの同じ軌道なので、$-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ ですべての分子軌道を表せます。エネルギーは、$c = \cos\theta$、$s = \sin\theta$ として次の式で計算できます:

\[\begin{aligned} E(\theta) = E_\mathrm{nuc} &+ 2\bigl(c^2 h_{11} + 2cs\, h_{12} + s^2 h_{22}\bigr) \\ &+ c^4 (11|11) + s^4 (22|22) + 2c^2 s^2 \bigl[(11|22) + 2\,(12|12)\bigr] + 4c^3 s\, (11|12) + 4cs^3\, (22|12) \end{aligned}\]

$h_{pq}$ は 1 電子積分（電子 1 個の運動エネルギーと、原子核からの引力）、$(pq|rs)$ は 2 電子積分（電子どうしの反発）、$E_\mathrm{nuc}$ は原子核どうしの反発です。核間距離 1.4632 bohr での値は、プログラムの中に書いてあります。

H₂ のように同じ原子 2 つからなる分子では、対称性から分子軌道が決まります。 HeH⁺ は異なる原子からなるので、電子が He 側にどれだけ寄るか（$\theta$ の値）は、計算してみないと分かりません。

整数変数とサロゲートモデル

$\theta$ を、$-\pi/2$ から $\pi/2$ までの 65 段階の整数 $n \in \lbrace 0, \ldots, 64\rbrace$ で表します:

\[\theta(n) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{64}\]

サロゲートモデルは、$t = n/64$ の 4 次多項式です:

\[\hat{E}(n) = w_0 + w_1 t + w_2 t^2 + w_3 t^3 + w_4 t^4\]

最初にランダムな 4 点を評価し、あとは QUBO++ が求めた $n$ を評価します。 QUBO++ が求めた $n$ がすでに評価済みのときは、それまでの最良点の隣（$n \pm 1$）で、まだ評価していない点を評価します。最良点の両隣がどちらも評価済みなら、最良点が両隣より低いことが確かめられたので、そこで終了します。

QUBO++ プログラム

import numpy as np
import pyqbpp.d as qbpp

# HeH+ の積分値（STO-3G 基底、核間距離 1.4632 bohr、単位 Hartree）
# 添字 1 は He の 1s、2 は H の 1s（直交化した基底）
H11, H22, H12 = -2.475236114935, -1.448259466847, -0.378724331272  # 1 電子積分
G1111, G2222, G1122 = 1.147471043048, 0.816258183162, 0.526201856993  # 2 電子積分
G1212, G1112, G2212 = 0.011345007430, -0.003104665462, -0.004941256971
E_NUC = 1.366867140514  # 原子核どうしの反発エネルギー

L = 65    # 角度の段階数
D = 4     # サロゲートモデルの次数
INIT = 4  # 最初にランダムに選んで評価する点の数


# 黒箱: 分子軌道 cos(θ) χ1 + sin(θ) χ2 に電子が 2 個入ったときのエネルギー
# 本当は時間のかかる量子化学計算で、ここでは式で代用する
def blackbox(theta):
    c, s = np.cos(theta), np.sin(theta)
    return (E_NUC + 2 * (c * c * H11 + 2 * c * s * H12 + s * s * H22)
            + c**4 * G1111 + s**4 * G2222
            + 2 * c * c * s * s * (G1122 + 2 * G1212)
            + 4 * c**3 * s * G1112 + 4 * c * s**3 * G2212)


# 整数 k（0 から L-1）に対応する角度
def theta(k):
    return -np.pi / 2 + np.pi * k / (L - 1)


rng = np.random.default_rng(0)
# 1. ランダムに選んだ点を評価する
ks = [int(k) for k in rng.choice(L, INIT, replace=False)]  # 評価した点
es = [blackbox(theta(k)) for k in ks]                       # そのエネルギー
for i, k in enumerate(ks):
    print(f"eval {i + 1}: n = {k:2d}, E = {es[i]:.6f} Ha (random)")

n = qbpp.var("n", integer=(0, L - 1))
t = (1 / (L - 1)) * n  # 0 から 1 までの座標
while True:
    # 2. サロゲートモデル w0 + w1 t + ... + w4 t^4 を当てはめる
    A = np.vander(np.array(ks) / (L - 1), D + 1, increasing=True)
    w = np.linalg.solve(A.T @ A + 1e-6 * np.eye(D + 1), A.T @ np.array(es))

    # 3. サロゲートモデルを QUBO++ の式にして、最小にする n を求める
    f = 0
    td = 1
    for d in range(D + 1):
        f += w[d] * td
        td = td * t
    f.simplify_as_binary()
    sol = qbpp.EasySolver(f).search(time_limit=0.2)
    k = int(sol(n))

    # 評価済みの点なら、最良点の隣のまだ評価していない点にする
    if k in ks:
        b = ks[int(np.argmin(es))]
        k = next((m for m in (b - 1, b + 1) if 0 <= m < L and m not in ks),
                 None)
        if k is None:  # 最良点の両隣を評価済み
            break

    # 4. エネルギーを評価してデータに加える
    ks.append(k)
    es.append(blackbox(theta(k)))
    print(f"eval {len(ks)}: n = {k:2d}, E = {es[-1]:.6f} Ha")

b = ks[int(np.argmin(es))]
print(f"best: n = {b}, theta = {theta(b):.4f}, E = {min(es):.6f} Ha")
# 答え合わせ: L 通りすべての中の最小値
emin = min(blackbox(theta(k)) for k in range(L))
print(f"minimum over all {L} values: {emin:.6f} Ha")

import pyqbpp.d で、式の係数を実数（float）にしています（実数（double）係数）。当てはめた多項式の係数 $w_d$ を、そのまま QUBO++ の式の係数にできます。
qbpp.var("n", integer=(0, L - 1)) が、$0$ 以上 $64$ 以下の整数変数 $n$ の宣言です。 t は $t = n/64$ を表す式で、td = td * t を繰り返して $t^d$ を作ります。
当てはめには numpy を使います（pip install numpy）。 np.vander で各点の $1, t, t^2, t^3, t^4$ を並べた行列を作り、np.linalg.solve で連立 1 次方程式を解きます。
sol(n) は実数で返るので、int に変換しています。
実行には数秒かかります。

出力結果

eval 1: n = 17, E = -1.111970 Ha (random)
eval 2: n = 32, E = -2.436134 Ha (random)
eval 3: n = 52, E = -2.137789 Ha (random)
eval 4: n = 40, E = -2.832456 Ha (random)
eval 5: n = 42, E = -2.838619 Ha
eval 6: n = 41, E = -2.841406 Ha
best: n = 41, theta = 0.4418, E = -2.841406 Ha
minimum over all 65 values: -2.841406 Ha

最初のランダムな 4 点（random）のあと、2 回の評価で 65 通りの中の最良点 $n = 41$（$\theta = 0.4418$）に到達しました。最良点の両隣（$n = 40$ と $n = 42$）がどちらも評価済みなので、そこで終了しています。最後の行は、65 通りすべてを評価して確かめた答えで、FMQA の結果と一致しています。

得られた分子軌道は $\cos\theta = 0.90$、$\sin\theta = 0.43$ で、電子が He 側に寄っています。 $\theta$ を連続的に動かしたときの最小値は $-2.841836$ Ha で、得られた値との差（0.43 mHa）は、$\theta$ を 65 段階に区切ったことによるものです。

乱数の種を変えて 20 回実行すると、20 回とも 65 通りの中の最良点に到達しました。最初の 4 点を含めた評価回数は 6〜10 回（多くは 7〜8 回）で、65 通りすべてを評価する場合の約 1/8 です。

例 2: 引き伸ばした H₂ とスピン対称性の破れ

ブラックボックス関数

水素分子 H₂ の 2 個の電子を考えます。 STO-3G 基底では、2 つの H の 1s 軌道から、結合性軌道 $\sigma_g$ と反結合性軌道 $\sigma_u$ の 2 つの分子軌道ができます。非制限 Hartree-Fock 法では、上向きスピン（$\alpha$）の電子と下向きスピン（$\beta$）の電子が、別々の分子軌道に入ることができます。それぞれの分子軌道を、角度 $\theta_\alpha, \theta_\beta$ で表します:

\[\phi_\alpha = \cos\theta_\alpha\, \sigma_g + \sin\theta_\alpha\, \sigma_u, \qquad \phi_\beta = \cos\theta_\beta\, \sigma_g + \sin\theta_\beta\, \sigma_u\]

エネルギーは、$c_x = \cos\theta_x$、$s_x = \sin\theta_x$ として次の式で計算できます:

\[\begin{aligned} E(\theta_\alpha, \theta_\beta) = E_\mathrm{nuc} &+ (c_\alpha^2 + c_\beta^2)\, h_{gg} + (s_\alpha^2 + s_\beta^2)\, h_{uu} \\ &+ c_\alpha^2 c_\beta^2\, J_{gg} + s_\alpha^2 s_\beta^2\, J_{uu} + (c_\alpha^2 s_\beta^2 + s_\alpha^2 c_\beta^2)\, J_{gu} + 4\, c_\alpha s_\alpha c_\beta s_\beta\, K_{gu} \end{aligned}\]

$h_{gg}, h_{uu}$ は 1 電子積分、$J_{gg}, J_{uu}, J_{gu}$ はクーロン積分（電子どうしの反発）、$K_{gu}$ は交換積分です。このページでは、結合を平衡の長さ（0.74 Å）から引き伸ばした、核間距離 2.0 Å での値を使います。値はプログラムの中に書いてあります。

対称な解と、対称性の破れた解

$\theta_\alpha = \theta_\beta = 0$ では、2 個の電子がどちらも $\sigma_g$ に入ります。これは 2 個の電子が同じ軌道に入る制限 Hartree-Fock 法の解で、$E = -0.78379$ Ha です。 $\sigma_g$ は 2 つの原子に均等に広がった軌道なので、$\alpha$ 電子も $\beta$ 電子も、両方の原子に半分ずつ存在します。

結合を引き伸ばすと、$\alpha$ 電子と $\beta$ 電子が別々の原子に分かれたほうが、エネルギーが低くなります。これが $\theta_\alpha = -\theta_\beta \approx \pm 0.668$ の解で、$E = -0.937213$ Ha と、上の解より 153.4 mHa 低くなります。 $\alpha$ 電子はほぼ一方の原子に、$\beta$ 電子はほぼもう一方の原子にあります（原子ごとのスピン密度 $\pm 0.98$）。制限 Hartree-Fock 法の解が持っていた「$\alpha$ 電子と $\beta$ 電子が同じ分布を持つ」という対称性が失われるので、スピン対称性の破れた解と呼ばれます。 $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えた解（$\theta_\alpha$ と $\theta_\beta$ の符号を入れ替えた解）も、同じエネルギーの最小点です。

通常の計算（SCF 計算）は、$\theta_\alpha = \theta_\beta$ の対称な状態から始めると、対称な解から動きません。 FMQA には、このような対称性について何も教えません。

整数変数とズーム

2 つの角度を、探索範囲（窓）の中の 65 段階の整数 $n_\alpha, n_\beta \in \lbrace 0, \ldots, 64\rbrace$ で表します。最初の窓は $-\pi/2 \le \theta_\alpha, \theta_\beta \le \pi/2$ で、角度の刻みは $\pi/64 \approx 0.049$ rad です。サロゲートモデルは、窓の中の座標 $u = n/64 \in [0, 1]$ の、2 変数の 4 次多項式です:

\[\hat{E} = \sum_{i + j \le 4} w_{ij}\, u_\alpha^i\, u_\beta^j\]

最良値が 4 回続けて更新されなかったら（または 1 つの窓で QUBO++ に 15 回点を求めさせたら）、最良点を中心に窓の幅を半分にします（ズーム）。段階数を奇数の 65 にしているので、窓の中心 $n = 32$ が格子点になり、最良点がそのまま次の窓の格子点になります。 6 段のズームで、角度の刻みは約 0.049 rad から約 0.0015 rad まで細かくなります。

各段の最初に、窓の中のランダムな点を評価します（最初の段は 6 点、以降は 3 点）。
学習には、それまでの段で評価した点も含め、いまの窓の中にある点をすべて使います。多項式は連続な座標の関数なので、いまの格子に乗っていない点もそのまま使えます。
QUBO++ が求めた点が評価済みなら、その周りの 8 点のうち、まだ評価していない点で予測値が最小の点を評価します。

QUBO++ プログラム

import numpy as np
import pyqbpp.d as qbpp

# 引き伸ばした H2 の積分値（STO-3G 基底、核間距離 2.0 Å、単位 Hartree）
# g は結合性軌道 σg、u は反結合性軌道 σu
H_GG, H_UU = -0.778922064923, -0.670266674748                       # 1 電子積分
J_GG, J_UU, J_GU = 0.509462821477, 0.534664130913, 0.519201267361  # クーロン積分
K_GU = 0.259138467265                                               # 交換積分
E_NUC = 0.264588624497  # 原子核どうしの反発エネルギー

L = 65        # 窓の中の角度の段階数（奇数）
D = 4         # サロゲートモデルの次数
STAGES = 6    # ズームの段数
ITERS = 15    # 1 段で QUBO++ に点を求めさせる回数の上限
PATIENCE = 4  # この回数続けて改善がなければ次の段へ
POWERS = [(i, j) for i in range(D + 1) for j in range(D + 1 - i)]  # i + j <= D


# 黒箱: α 電子が cos(θa) σg + sin(θa) σu に、
#       β 電子が cos(θb) σg + sin(θb) σu に入ったときのエネルギー
# 本当は時間のかかる量子化学計算で、ここでは式で代用する
def blackbox(ta, tb):
    ca, sa, cb, sb = np.cos(ta), np.sin(ta), np.cos(tb), np.sin(tb)
    return (E_NUC + (ca * ca + cb * cb) * H_GG + (sa * sa + sb * sb) * H_UU
            + ca * ca * cb * cb * J_GG + sa * sa * sb * sb * J_UU
            + (ca * ca * sb * sb + sa * sa * cb * cb) * J_GU
            + 4 * ca * sa * cb * sb * K_GU)


history = []  # 評価した点の (θa, θb, E)


# 格子点 k = (ka, kb) のエネルギーを評価してデータに加える
# 最良値を更新したら True を返す（1e-12 未満の差は丸め誤差とみなす）
def evaluate(k):
    ta, tb = lo + step * np.array(k)
    e = blackbox(ta, tb)
    improved = not history or e < min(h[2] for h in history) - 1e-12
    if improved:
        print(f"eval {len(history) + 1:2d}: E = {e:.8f} Ha "
              f"(theta_a = {ta:.4f}, theta_b = {tb:.4f})")
    history.append((ta, tb, e))
    seen.add(k)
    return improved


rng = np.random.default_rng(1)
na = qbpp.var("na", integer=(0, L - 1))
nb = qbpp.var("nb", integer=(0, L - 1))
ua = (1 / (L - 1)) * na  # 窓の中の座標（0 から 1）
ub = (1 / (L - 1)) * nb
lo = np.array([-np.pi / 2, -np.pi / 2])  # 窓の左下の角度
step = np.pi / (L - 1)                   # 格子の間隔

for stage in range(STAGES):
    seen = set()  # この段で評価した格子点
    if stage > 0:
        seen.add((L // 2, L // 2))  # 窓の中心（それまでの最良点）
    # 1. ランダムに選んだ点を評価する（最初の段は 6 点、以降は 3 点）
    init = 6 if stage == 0 else 4
    while len(seen) < init:
        k = tuple(int(v) for v in rng.integers(0, L, 2))
        if k not in seen:
            evaluate(k)

    stall = 0
    for _ in range(ITERS):
        # 2. 窓の中にある評価済みの点に、サロゲートモデルを当てはめる
        H = np.array(history)
        u = (H[:, :2] - lo) / (step * (L - 1))
        inside = np.all((u >= 0) & (u <= 1), axis=1)
        A = np.array([[a**i * b**j for i, j in POWERS] for a, b in u[inside]])
        w = np.linalg.solve(A.T @ A + 1e-6 * np.eye(len(POWERS)),
                            A.T @ H[inside, 2])

        # 3. サロゲートモデルを QUBO++ の式にして、最小にする (na, nb) を求める
        f = 0
        for (i, j), c in zip(POWERS, w):
            term = c
            for _ in range(i):
                term = term * ua
            for _ in range(j):
                term = term * ub
            f += term
        f.simplify_as_binary()
        sol = qbpp.EasySolver(f).search(time_limit=0.2)
        k = (int(sol(na)), int(sol(nb)))

        # 評価済みの点なら、周りの 8 点のうち、まだ評価していない点で
        # 予測値が最小の点にする
        if k in seen:
            around = [(k[0] + a, k[1] + b) for a in (-1, 0, 1) for b in (-1, 0, 1)]
            around = [m for m in around
                      if 0 <= m[0] < L and 0 <= m[1] < L and m not in seen]
            if not around:
                break
            k = min(around, key=lambda m: f({na: m[0], nb: m[1]}))

        # 4. エネルギーを評価してデータに加える
        if evaluate(k):
            stall = 0
        else:
            stall += 1
            if stall >= PATIENCE:
                break

    # ズーム: 最良点を中心に、窓の幅を半分にする
    best = min(history, key=lambda h: h[2])
    step /= 2
    lo = np.array(best[:2]) - step * (L // 2)

print(f"best: E = {best[2]:.8f} Ha after {len(history)} evaluations "
      f"(theta_a = {best[0]:.4f}, theta_b = {best[1]:.4f})")
print(f"RHF (theta_a = theta_b = 0): E = {blackbox(0, 0):.8f} Ha")

POWERS はサロゲートモデルの単項式 $u_\alpha^i u_\beta^j$ の指数 $(i, j)$ の一覧で、15 個あります。 A は、窓の中にある各点での単項式の値を並べた行列です。
手順 3 では、term = term * ua のように単項式を掛け合わせて式 f を作ります。 f は $n_\alpha, n_\beta$ の 4 次の多項式で、項は定数項を含めて 15 個です。
周りの 8 点の予測値は、式 f に値を代入して求めます（f({na: m[0], nb: m[1]})、評価関数）。
history は評価したすべての点の角度とエネルギー、seen はいまの段で評価した格子点です。 evaluate は、最良値を更新したら True を返します。対称な位置にある 2 点のエネルギーは本来等しいので、$10^{-12}$ 未満の差は丸め誤差とみなして更新に数えません。
実行には 15 秒ほどかかります。

出力結果

eval  1: E = -0.78732535 Ha (theta_a = -0.0982, theta_b = 0.0491)
eval 10: E = -0.92120733 Ha (theta_a = 0.6381, theta_b = -0.4909)
eval 14: E = -0.93425496 Ha (theta_a = 0.7363, theta_b = -0.6381)
eval 16: E = -0.93652921 Ha (theta_a = 0.6872, theta_b = -0.6381)
eval 19: E = -0.93684475 Ha (theta_a = 0.6872, theta_b = -0.6872)
eval 25: E = -0.93700161 Ha (theta_a = 0.6627, theta_b = -0.6872)
eval 26: E = -0.93718516 Ha (theta_a = 0.6627, theta_b = -0.6627)
eval 41: E = -0.93721215 Ha (theta_a = 0.6688, theta_b = -0.6688)
eval 56: E = -0.93721219 Ha (theta_a = 0.6673, theta_b = -0.6688)
eval 58: E = -0.93721235 Ha (theta_a = 0.6673, theta_b = -0.6673)
best: E = -0.93721235 Ha after 62 evaluations (theta_a = 0.6673, theta_b = -0.6673)
RHF (theta_a = theta_b = 0): E = -0.78379268 Ha

58 回目の評価で $E = -0.93721235$ Ha に到達しました（全体の評価回数は 62 回）。角度を連続的に動かしたときの最小値 $-0.93721282$ Ha との差は 0.0005 mHa で、最後の段の格子の細かさによるものです。得られた解は $\theta_\alpha = -\theta_\beta$ で、スピン対称性の破れた解です。乱数の種によっては、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えた解（$\theta_\alpha < 0$）が得られます。

なお、同じプログラムに平衡の核間距離 0.74 Å での積分値を入れると、対称性は破れず、$\theta_\alpha = \theta_\beta = 0$ の解（$E = -1.11676$ Ha）に収束します。

ランダム探索・山登り法との比較

乱数の種を変えて上のプログラムを 20 回実行し、評価回数ごとの最良値を、次の 2 つの方法と比べました:

ランダム探索: $-\pi/2$ から $\pi/2$ までの一様乱数で $(\theta_\alpha, \theta_\beta)$ を選んで評価することを繰り返します。
山登り法: ランダムな点から始め、いまの刻み幅で周りの 8 点を評価して、最も良い点へ移ります。周りに良い点がなければ、刻み幅を半分にします。最初の刻み幅は、$\pi/2$ から $\pi/32$ までのうち最も成績の良かった $\pi/8$ です。

表の値は、最小値 $-0.93721282$ Ha との差の平均と、差が 0.01 mHa 以内に入った割合です。 FMQA は 51〜62 回の評価で終了し、60 回より前に終わった場合は終了時の値を使っています。

方法	20 回	40 回	60 回
FMQA	0.42 mHa / 0%	0.0020 mHa / 95%	0.0005 mHa / 100%
ランダム探索	26.5 mHa / 0%	16.2 mHa / 0%	10.1 mHa / 0%
山登り法	23.4 mHa / 0%	2.86 mHa / 0%	0.47 mHa / 0%

FMQA は、評価したすべての点からエネルギーの形を学習するので、周りの点を 1 つずつ調べる山登り法より少ない評価回数で最小点に近づきます。

QUBO++ の役割

このページの例は変数が 1〜2 個なので、サロゲートモデルの最小化そのものは簡単で、65 通りや $65^2 = 4225$ 通りの値をすべて調べても求まります。また、H₂ の対称性の破れた解は、対称性を破った状態から SCF 計算を始めればすぐに得られます。このページの目的は、量子化学計算のエネルギーをブラックボックス関数とみなし、整数変数で FMQA を行う手順を示すことです。

分子が大きくなって角度の数 $k$ が増えると、格子点の数は $65^k$ で増え、サロゲートモデルの最小化は QUBO++ のソルバーの仕事になります。そのときは多項式の係数の数も増えるので、FMQA の FM のように、係数の数を抑えたモデルを使うことになります。