ネイティブ整数変数

整数変数と連立方程式の求解では，複数のバイナリ変数を組み合わせて整数を表現する方法を説明しました．PyQBPP はこれに加えて， 整数値をそのまま保持するネイティブ整数変数をサポートしています． qbpp.var() の integer= キーワードで宣言した変数はバイナリ変数に展開されず， QUBO++ にバンドルされているソルバー（EasySolver・ABS3 Solver・Exhaustive Solver）が整数値を直接扱って効率よく探索を行います．

宣言と基本的な使い方

ネイティブ整数変数は，integer=(下限, 上限) を指定して宣言します．範囲の指定は必須です．宣言した変数は通常の変数と同じように式の中で使えます:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", integer=(0, 10))
f = x * x - 4 * x
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sol = solver.search()
print(f"x = {sol(x)}")
print(f"f = {sol.energy}")

プログラムの出力は以下の通りです:

x = 2
f = -4

x * x のような冪に，バイナリ変数の規則（$x \cdot x = x$）は適用されず，整数の二乗としてそのまま扱われる点に注意してください．

連立方程式を解く例

次のプログラムは，連立方程式 $x + 2y = 700$，$x - y = 100$ を 2 乗誤差の最小化として解きます:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", integer=(0, 1000))
y = qbpp.var("y", integer=(-1000, 1000))
f = qbpp.sqr(x + 2 * y - 700) + qbpp.sqr(x - y - 100)
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1.0)
print(f"x = {sol(x)}, y = {sol(y)}")
print(f"f = {sol.energy}")

プログラムの出力は以下の通りです:

x = 300, y = 200
f = 0

整数変数の配列

qbpp.var() に次元と integer= を同時に指定すると，ネイティブ整数変数の配列が作れます．要素には s[i] でアクセスし， s.sum() で総和の式が作れます:

import pyqbpp as qbpp

s = qbpp.var("s", 3, integer=(0, 9))
t = s.sum()
f = qbpp.sqr(t - 6) + qbpp.sqr(s[0] - s[1] + 1) + qbpp.sqr(s[1] - s[2] + 1)
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sol = solver.search()
print(f"s = {sol(s[0])}, {sol(s[1])}, {sol(s[2])}")
print(f"f = {sol.energy}")

プログラムの出力は以下の通りです:

s = 1, 2, 3
f = 0

要素ごとに範囲が異なる配列

integer= の下限・上限には，スカラーの代わりにリストも指定できます．リストを指定すると，要素ごとに個別の範囲を持つネイティブ整数変数の配列が作られます（スカラー側の値は全要素で共有されます）．下限と上限が等しい要素は，その値に固定された定数になります:

import pyqbpp as qbpp

max_vals = [3, 7, 15, 5]
x = qbpp.var("x", shape=len(max_vals), integer=(0, max_vals))
f = qbpp.sqr(qbpp.sum(x) - 26) - x[0] - x[1] - x[2]
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sol = solver.search()
print(f"x = {sol(x[0])}, {sol(x[1])}, {sol(x[2])}, {sol(x[3])}")
print(f"f = {sol.energy}")

プログラムの出力は以下の通りです:

x = 3, 7, 15, 1
f = -25

制約との併用

ネイティブ制約の qbpp.cons() は，ネイティブ整数変数を含む式にもそのまま使えます:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", integer=(0, 5))
y = qbpp.var("y", integer=(0, 5))
f = -(2 * x + 3 * y) + 50 * qbpp.cons(x + y == 8)
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sol = solver.search()
print(f"x = {sol(x)}, y = {sol(y)}")

プログラムの出力は以下の通りです:

x = 3, y = 5

外部ソルバーとの連携

MIP ソルバーは整数変数をそのまま扱えるため，ネイティブ整数変数は 整数の列として直接渡されます（バイナリ変数には展開されません）． qbpp.GurobiSolver(f) は二次の目的関数（MIQP）まで対応します．目的関数が線形で制約を qbpp.cons() で書いたモデルは， qbpp.ScipSolver(f, ilp=True) のように ilp=True を付ければ 5 種の MIP ソルバーすべてで解けます．

一方，バイナリ変数専用の外部 QUBO ソルバーに渡す場合は， qbpp.binarize() で従来のバイナリエンコーディングに変換してください:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", integer=(0, 10))
f = x * x - 4 * x
g = qbpp.binarize(f)
g.simplify_as_binary()
solver = qbpp.ExhaustiveSolver(g)
sol = solver.search()
print(f"minimum = {sol.energy}")

プログラムの出力は以下の通りです:

minimum = -4

使い分けの指針

個数・時刻・在庫量など数量を表す変数には，ネイティブ整数変数が適しています．
外部のバイナリ専用ソルバーに渡すモデルは，バイナリエンコーディングの整数変数（between=）を使うか， qbpp.binarize() で変換してください．
「どれを選ぶか」というラベル（訪問順序・色など）には，ネイティブ整数変数よりも one-hot 表現（置換行列・One-hot 制約）が適しています．

なお，ライセンスの変数数の上限では，ネイティブ整数変数 1 個は，その範囲（上限 − 下限）を $r$ とすると，次の個数のバイナリ変数分としてカウントされます:

\[\lceil \log_2 (r+1) \rceil\]