平方根
この例では、大きな整数を用いて $c=2$ の平方根を計算する方法を示します。 $s = 10^{20}$ を固定整数とします。 PyQBPP は実数を直接扱えないため、$\sqrt{c}$ の代わりに $\sqrt{cs^2}$ を計算します。 以下の関係式から、
\[\begin{aligned} \sqrt{c} &= \sqrt{cs^2}/s \end{aligned}\]20桁の10進精度で $\sqrt{c}$ の近似値を得ることができます。
平方根計算の定式化
範囲 $[s, 2s]$ の値を取るネイティブ整数変数 $x$ を定義します。 次に、以下の等式を用いて問題を定式化します:
\[\begin{aligned} x ^ 2 &= cs ^ 2 \end{aligned}\]この等式を qbpp.cons() で制約として宣言すると、エネルギーは違反量の2乗、すなわち以下の値になります:
この式を最小化する $x$ の値を見つけることで、20桁の10進精度で $c$ の平方根の近似値を得ます。 $x$ はバイナリ変数に展開されないので、制約の式は $x$ の2次式のままです。
PyQBPP プログラム
以下の PyQBPP プログラムは、上記の考え方に基づいて式を構築し、Easy Solver を用いて解きます:
import pyqbpp.cppint as qbpp
c = 2
s = 10**20
x = qbpp.var("x", integer=(s, c * s))
f = qbpp.cons(x * x == c * s * s)
f.simplify()
solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=10.0)
xv = sol(x)
print(f"sqrt({c}) ≈ {xv} / {s}")
print(f" = {xv // s}.{xv % s}")
print(f"Energy = {sol.energy}")
式の値が $10^{40}$ 程度になり 64 bit を超えるため、任意精度の cpp_int バリアント (pyqbpp.cppint) をインポートしています。 定数 s、ネイティブ整数変数 x、式 f は上述の定式化に従って定義されています。 Easy Solver は制限時間10秒で実行されます。パラメータは search() の引数として渡します。
得られた整数解 xv を商 xv // s と剰余 xv % s に分け、小数点で連結して 10 進表記を得ます。float に変換せず Python の任意精度整数のまま計算するので精度が保たれます。ただし、剰余が20桁より短いと先頭の0が落ちます（例えば $c=26$ では $\sqrt{26}=5.0990\ldots$ が 5.990... と表示されます）。一般には {xv % s:020d} のように剰余を20桁にゼロ埋めする必要があります。この $c=2$ の例では剰余がちょうど20桁なので問題ありません。
このプログラムは以下の出力を生成します:
sqrt(2) ≈ 141421356237309504880 / 100000000000000000000
= 1.41421356237309504880
Energy = 2281431565136320033809509291861647360000
Easy Solver が正しい近似値を出力していることが確認できます:
\[\sqrt{2}\approx 1.41421356237309504880\]報告されたエネルギー値はゼロではなく、等式制約は厳密には満たされていないことに注意してください。 これは単に、この等式に対する厳密な整数解が存在しないためです。 代わりに、ソルバーは等式制約の誤差を最小化する解を見つけます。 出力に示されているエネルギー値は、この誤差の2乗に対応しています。 誤差が最小化されるため、得られた $x$ の値は平方根の近似値を表しています。